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Excel: Statistische Funktionen

Wahrscheinlichkeit Bayesian

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Wie berechnet man eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
04:23

Transkript

Ein Satz ist mir noch wichtig und liegt mir am Herzen. Der Satz von Bayes oder das Theorem von Bayes, wie Sie es aussprechen wollen. Ich habe ein Trainee-Programm. Ich habe viele Leute scherzhaft durch die Pinguine dargestellt. Ich schiebe das Bild einmal zur Seite, weil hier eine Frage steht. Eine internationale Firma startet ein Trainee-Programm. Man stellt fest, dass 70 Prozent der Teilnehmer erfolgreich sind. Am Ende gibt es einen Test, den etwa 70 Prozent bestehen. Oder es wird irgendwie anders evaluiert. Also 70 Prozent dieser Teilnehmer haben Erfolg. Nachdem das Programm beendet wurde, wird ein zweiter Test gestartet. In dem Test bestehen 90 Prozent der erfolgreichen Teilnehmer. Also von den 70 Prozent der guten Teilnehmer, bestehen den Test 90 Prozent. Lediglich 40 Prozent der nicht erfolgreichen, also von den übrigen 30 Prozent, bestehen 40 Prozent den Test. Nun ist die Frage, wie viele Teilnehmer den Test bestehen oder wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn ich irgendeinen beliebigen Teilnehmer aus dem Programm nehme, dass er den Test besteht? Es gibt also zwei Bedingungen oder man spricht auch von einer "bedingten Wahrscheinlichkeit". Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird mit einem senkrechten Strich, einem Pipe-Symbol ausgedrückt, wie Sie es hier sehen, also die Bedingung von B unter A, "A|B". Das Theorem von Bayes kann man leicht aus dem Multiplikationssatz und Additionssatz herleiten. Das lautet nun folgendermaßen: Die Wahrscheinlichkeit beträgt die Wahrscheinlichkeit von B unter A mal die Wahrscheinlichkeit von A geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B unter A mal die Wahrscheinlichkeit von A. Also hier das Gleiche, allerdings plus die Wahrscheinlichkeit von B unter A komplementär mal die Wahrscheinlichkeit von A komplementär. Was heißt das? Schreiben wir das auf. Die Wahrscheinlichkeit von A, also "p(A)" lautet "0,7". Das ist unser erster Test, der wird "A" genannt. Hier sind 70 Prozent erfolgreich. Umgekehrt "p(Ā)", das Komplementärereignis, lautet "0,3". Wenn 70 Prozent erfolgreich sind, dürfen wir nach dem Komplementärsatz das Gegenteil ausrechnen, 30 Prozent sind nicht erfolgreich. Okay, die Wahrscheinlichkeit dagegen von "p(B|A)", die bedingte Wahrscheinlichkeit, beträgt nun "0,4". Das heißt, zweiter Fall: Die Wahrscheinlichkeit von "p(B|A)", B unter A, beträgt "0,9", das heißt, B ist das zweite Ereignis, das sehen Sie hier, 90%, 40%, und von Ereignis B unter A, ist die Wahrscheinlichkeit 90 Prozent. Okay, auch hiervon gibt es ein Komplementärereignis, nämlich "p(B|Ā)" beträgt "0,4". Diese Zahl habe ich hier stehen. Also bei dem zweiten Ereignis, wenn es eintritt, beträgt die Wahrscheinlichkeit hier B unter A "0.9", hier beträgt B unter A quer das Gegenteil, "0,4". Mit den vier Zahlen können wir nun nach dem Theorem von Bayes ausrechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass irgendein beliebiger Teilnehmer den Test bestehen wird. Hier habe ich es ausgerechnet, Sie ahnen es wahrscheinlich, ich multipliziere die Zahlen "(0,7*0,9)", teile es dann, "/(0,9*0,7 +0,4*0,3)". Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass er den Test bestehen wird, beträgt "0,84". Das ist eben diese bedingte Wahrscheinlichkeit oder das Theorem von Bayes.

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4 Std. 5 min (56 Videos)
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