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Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Trigonometrische Funktionen

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Mit trigonometrischen Funktionen bezeichnet man Zusammenhänge zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen. Dabei stellt man jeweils zwei der Seiten – Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse – in Beziehung. Sie erfahren mehr über die Sinus- die Kosinus- und die Tangensfunktion und hören etwas über den Kehrwert und über die Umrechnung von Winkelangaben und Bogenmaß.
05:42

Transkript

Wir wollen uns in diesem Video mit den sog. trigonometrischen Funktionen beschäftigen. Man nennt diese auch Winkelfunktionen oder Kreisfunktionen, und diese bezeichnen die Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Seitenverhältnissen. In der Regel wendet man das auf ein rechtwinkliges Dreieck an, aber das ist auch zu verallgemeinern. Der Vollständigkeit halber sollen auch die Kehrwerte kurz erwähnt werden, aber darauf möchte ich nicht genauer eingehen. Betrachten wir mal ein Dreieck. Wenn wir bspw. hier diesen Winkel berechnen wollen, -- den bezeichnen wir mal mit Alpha -- dann haben wir in diesem Dreieck auch bestimmt benannte Seiten. Zur Erinnerung: wenn wir hier einen rechten Winkel haben, ist die gegenüberliegende Seite die sog. Hypotenuse. Und dem Winkel gegenüber, unter der Annahme, dass wir diesen Winkel betrachten wollen, liegt die Gegenkathete. Und direkt an dem Winkel als weitere Seite liegt die Ankathete an. Der Sinus von diesem Winkel ist die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse. Der Kosinus von diesem Winkel ist die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse. Und der Tangenz ist die Gegenkathete geteilt durch die Ankathete. Der sog. Kotangenz ist die Umdrehung, also die Ankathete geteilt durch die Gegenkathete. Betrachten wir mal ein paar konkrete Werte. Der Sinus von 0 ist 0. Der Kosinus von 0 ist aber 1. Auch wenn jetzt Sinus von 0 da drinsteht, ist ja 0. Nehmen wir mal 180. Sinus ist wieder 0. 180, Kosinus ist -1. 90, Sinus ist 1. 90, Kosinus ist 0. Diese Grafik hier zeigt einen Einheitskreis und den Winkel, von dem wir hier reden, den Kreisbogen. Sie sehen, dieser Kreisbogen und der Winkel stehen in einem direkten Verhältnis zueinander, und Sie sehen auch, wie der Kosinus, der Sinus von dem Winkel und der Tangenz von dem Winkel bei diesem Einheitskreis zusammenhängen. Hier sehen Sie den Radius 1. Der Wertebereich von Sinus und Kosinus bewegt sich zwischen 1 und -1, periodisch. Deswegen kann man hiermit auch sehr schön periodische Vorgänge beschreiben. Sie sehen hier den Graph, animiert, von Sinus und Kosinus. Und auch, wie er sich immer gegenüberliegend verhält. Beachten Sie auch, dass Sie sowohl mit Kosinus als auch Sinus einen Punkt auf einem Kreis beschreiben. Damit haben wir selbstverständlich auch ein Verhältnis zu Pi. In dem sog. Einheitskreis, einem normierten Kreis, entsprechen 360 Grad zweimal Pi. Ein Winkel kann in ein sog. Bogenmaß umgerechnet werden und umgekehrt. Der besagte Einheitskreis ist nichts weiter als ein Kreis um einen Koordinatenursprung mit dem Radius 1. Zu jedem Winkel in diesem Einheitskreis gehört ein Kreisbogen. Ein Kreisbogen ist ein Teil auf dieser Linie des Kreises. Die Länge dieses Kreisbogens nennt man das Bogenmaß und das ist damit ein Maß, wie groß dieser Winkel ist. Die Größe des Winkels wird als Radiant bezeichnet und mit "rad" abgekürzt, sofern man eine Formel oder so etwas hat. Einem Vollwinkel, d.h. einmal komplett herum im Kreis, 360 Grad, entspricht das Bogenmaß zwei Pi. Jeder Winkel, der in Grad angegeben ist, der kann auch im Bogenmaß angegeben werden und natürlich umgekehrt. Und für die Umrechnung gilt, dass der Winkel Radiant-angegeben gleich dem Winkel in Grad geteilt durch 360 Grad mal 2 Pi ist. Sie können die Formel natürlich beliebig umstellen und damit Winkel in Bogenmaß umrechnen. Bessere Taschenrechner bieten das allerdings auch auf Knopfdruck an. Das sehen Sie bspw. hier. Ich gebe 50 Grad ein und Sie sehen gleich das Bogenmaß. Natürlich können Sie auch das Bogenmaß eingeben und sehen den Winkel. Sie haben also in diesem Video die trigonometrischen Funktionen kennengelernt, das Verhältnis von Winkel zu Bogenmaß, wie man das umrechnen kann, wie sich die trigonometrischen Funktionen aus dem Verhältnis von Katheten und Hypotenuse ergeben.

Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Lernen Sie die Themenbereiche und Verfahren aus der Mathematik kennen, die bei der täglichen Programmierarbeit zum Einsatz kommen.

2 Std. 54 min (40 Videos)
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Erscheinungsdatum:04.10.2016
Aktualisiert am:19.12.2016

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