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Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Trapezverfahren

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Es gibt verschiedene Verfahren zur numerischen Integration. Da Excel nicht symbolisch integrieren kann, muss man eines dieser Verfahren verwenden. In diesem Video stellt Ihnen der Trainer das Trapezverfahren vor.
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Transkript

EXCEL hat keinerlei Möglichkeiten, symbolisch zu integrieren. EXCEL hat keine Integralfunktion, hat keinerlei Integralberechnung. Das ist eigentlich schade, weil Integrale wichtige Funktionen sind in der Mathematik und auch im Ingenieurwesen. Nun, wenn EXCEL es nicht kann, dann bringen wir es ihm halt bei. Das heißt, ich möchte gerne mit einem Näherungsverfahren numerisch ein Integral berechnen. Eines der bekanntesten Nährungsverfahren ist das sogenannte Trapezverfahren, das ich hier vorstellen möchte. Um das Ganze etwas zu beschleunigen, habe ich mir bereits eine Kurve ausgedacht, habe einen Grafen, habe eine Funktion, die sehen Sie hier etwas größer y=x^3 -4,5x^2+5x. Ich habe diese Funktion hier bei f(x) schon eingetragen. Ich habe einen Wertebereich von -2 bis +5 laufen lassen und habe hier die entsprechenden Funktionswerte ausgerechnet x^3 -4,5x^2+5x. Die Stammfunktion, das können wir noch im Kopf. Das ist eine einfach, ganz rationale Funktion. Die Stammfunktion lautet 1/4x^4-3/2x^3+5/x^2. Diese Funktion habe ich nebendran angezeigt und habe beide in ein Diagramm eingefügt. Sie sehen Orange, die Stammfunktion, Blau ist meine eigentliche Funktion, die ich integrieren möchte. Sie sehen auch hier im Wertebereich, bei 0 nimmt die Funktion den Wert 0 an, bei 2 nimmt sie auch den Wert 0 an. Und das können wir hier leicht überprüfen. 0 sieht man sowieso. Ich hätte ganz gerne das Integral von 0 bis 2 berechnet. Wie groß ist die Fläche hier unter dieser Kurve beziehungsweise wie groß ist der Wert hier bis zur Stelle 2? Man kann es natürlich ablesen, da ich die Stammfunktion kenne. Aber wenn Sie komplexere Funktionen haben, dann können Sie es natürlich nicht so einfach ablesen. Nun, das Trapenzverfahren funktioniert folgendermaßen: Ich schiebe mal die Kurve ein bisschen zur Seite. Wenn ich diese Fläche nun in einzelne Rechtecke zerlege oder, anders gesprochen, wenn ich sie in Trapeze zerlege, ich zeichne mal hier ein Rechteck, so ein Rechteck, dann kann ich das hier bearbeiten, in ein Trapez verwandeln, so etwa. Dann kann man die Fläche von diesem Trapez sehr leicht berechnen. Das kann man auch gut visualisieren mit einer Linie, indem ich in die Mitte einer Linie lege. Ich mache die Linie mal von Formkontur hier schwarz, sieht man sie besser, zeichne noch eine zweite beziehungsweise dritte Linie, eine waagerechte Linie hierüber, so, auch die wird schwarz formatiert, und Steuerungstaste, die wird noch dupliziert bis hierhin, so. Und hier kann man sich leicht vorstellen. Wenn ich dieses untere blaue Dreieck nun ausschneide und oben einfüge, dann habe ich ein Rechteck, und die Fläche dieses Rechtecks ist natürlich so groß wie die Breite. Länge mal Breit. Hier habe ich die Breite, und die Höhe ist eben die Mitte, das heißt, dieses Dreieck, hier oben, hier unten reingesetzt, ergibt ein Rechteck, das eben diese Fläche hat. Nun, diese Kurve können wir so in solche Trapeze zerlegen. Also unten habe ich die Breite, und jeweils x(1), x(2)-Wert 2 Y-Werte, und von denen berechnen wir den Durchschnitt und haben eben so unsere Trapeze. Das heißt, wir bauen das Ganze mal auf. Ich mache mal hier nebendran. Ich schreibe es mal hierhin. Wir fangen an bei einem Startwert, ich nenne ihn mal x(0), in dem Beispiel 0 könnte ich natürlich später noch ändern und laufen hoch bis x(n), bis unserem Endwert 2. Ich hätte ganz gerne eine Schrittweise. Ich beginne mal bei n, bei einer Anzahl von, wir fangen mal klein an, mit 10 Schritten, und die Breite des Ganzen h nenne ich mal Breite. Die Breite lautet natürlich (Ende minus Anfang), das Ganze in Klammern, Klammer auf, Klammer zu, teilen wir durch die Schrittweise durch L3. Okay, wir erhalten 0,2. Und diese Werte sind natürlich variabel, die wollen wir gleich ändern. So, ich baue hier weiter unten mal eine kleine Liste auf, das heißt, ich mache einen Zähler, ich nenne ihn mal i, wir fangen natürlich bei 1 an, und ich lasse es hochlaufen, natürlich dynamisch hochlaufen mit Hilfe dieser Zahl, das heißt, =WENN, die Zahl oben drüber noch kleiner ist als diese Zahl hier oben, als diese Anzahl, natürlich absolut, weil wir es gleich runtersetzen, dann darf er diese Zahl weiterzählen, +1, ansonsten bitte nicht, Anführungszeichen, Anführungszeichen. So, und das Ergebnis ziehe ich jetzt einfach mal runter, sehr weit runter, weit mehr als 10, so 170, das reicht mal. Das heißt, er hat die ersten zehn aufgebaut dynamisch, weil wir hier die Zahl 10 eingetragen haben. Nebendran brauche ich jetzt hier einzelne Scheiben, das heißt, ich brauche hier x(1), x(2), x(3), x(4) und so weiter, und das überschreibe ich mal mit x(i) beziehungsweise x(i+1), kann man noch schöner formatieren. Ich fange hier bei meinem Startwert an. Okay. Der nächste Wert muss dann hier sein "ist gleich, der Wert nebendran, plus die Breite", darf es runterziehen absolut. Und umgekehrt hier gleiches Spiel: du Wert plus Breite. Auch wieder absolut und diese Funktion natürlich nebendran noch einmal. Das soll er aber nur ausrechnen, nur dann ausrechnen, wenn dieser Wert leer ist, dann bleibe ich hier auch leer, ansonsten wird gerechnet. "enter". Und hier das gleiche Spiel nochmal, hätte ich auch kopieren können. Wenn die Zelle leer ist, dann bleibe ich leer, einmal Semikolon, sonst wird gerechnet. Das Ganze ziehen wir runter, Doppelklick auf das Kästchen, und haben die Werte hier bis 10. Sie sehen von 0 bis 2, diese Scheiben berechnet, also ganz genauer die x-Scheiben. Nun berechnen wir die Funktion, also f(xi) nenne ich es mal, nebendran, richtig schreiben, (xi), nebendran kommt natürlich ein f(xi+1), und hier kopieren wir einfach die Funktion raus, das heißt, ist gleich diese Funktion, und das muss ich natürlich jetzt abändern. Das ist der Funktionswert von dieser Zelle. ^2. Hier genauso, das wird F12, und auch am Ende nicht A2, sondern F12. Sie können tippen oder klicken. Das Ganze wird noch mit einer WENN-Funktion ummantelt: Wenn die Zelle leer ist, dann bleibe ich leer, sonst rechne bitte die Funktion, Klammer zu am Ende und "enter". Der Wert von 0 ist 0, das wissen wir, kann ich runterziehen. Wenn ich diese Funktion überziehe, muss ich noch ein bisschen was anpassen, nämlich ich überprüfe, ob nicht F12, sondern ob E12 leer ist. Wenn F12 leer ist, dann bleibe ich leer, ansonsten rechne bitte mit dem Wert von G. "enter". Okay, Sie sehen natürlich, der gleiche Wert, und runterziehen, und dann habe ich das Ganze. Nun für die Trapezfläche berechnen wir, nun schreibe ich es mal hier Ti hin, ist gleich einmal die Breite, also dieses Stückchen hier, das müssen wir absolut nehmen, das bleibt immer die gleiche Strecke, mal und das Ganze wird multipliziert mit dem Mittelwert aus beiden, das heißt, Klammer auf, das hier plus das hier, relativ halt das gleich runterziehen, geteilt durch 2, ist der Durchschnitt. Okay, das ziehen wir nun herunter. So, diese Werte summieren wir, das heißt, die Summe der Trapezflächen, lautet, ich beginne mal bei 0, und hier summiere ich "ist gleich, du oben drüber plus du neben dran". Okay, das wird runtergezogen. Jetzt sehen Sie, hier habe ich meine WENN-Funktion vergessen, aber das ist ja kein Problem. =WENN, mal wieder diese Zelle leer ist, dann bleibe ich leer, sonst rechne bitte. Klammer zu. Habe ich noch ein Semikolon hier vergessen. Einfach das gefälzt. Stimmen die Klammern. Mal du, geteilt durch du. Hinten ist eine zu viel jetzt. "enter" und runterziehen. Das ist gut. Und hier natürlich genauso, er soll natürlich nur summieren. Wenn der hier leer ist, dann leer, sonst okay und runterziehen. Okay. So, die Fläche haben wir ja eigentlich jetzt drüben, das heißt, diese Stammfunktion können wir natürlich verwenden. Das heißt, ich kann diese Funktion hier markieren, kopieren, hier drüben einsetzen natürlich erst mal mit meinem WENN, damit ich es nicht vergesse: Wenn du leer bist, dann bleibst du leer, sonst nimm diese Funktion, und statt A2 nimm mal bitte F12 wieder, das heißt, an der Stelle hätte ich gerne F12, hier hinten natürlich auch F12 und dann noch einmal, das dritte Mal F12, Klammer zu für meine WENN-Funktion. "enter" und runterziehen. Okay. Das heißt, Sie sehen hier schon, 1,89, 1,97 wäre der richtige Wert. Da haben wir also eine Abweichung. Wenn wir nun die Anzahl erhöhen, machen wir mal auf 20, gehen wir mal auf 20 hoch, jetzt sehen wir natürlich nichts, das heißt, im letzten Schritt hätte ich noch ganz gerne den berechneten Wert, berechneter Wert, und den exakten Wert, den mir EXCEL natürlich liefert, exakter Wert, und dazwischen davon hätte noch gerne die Differenz, das Delta gebildet Differenz, das heißt, der berechnete Wert, da nehmen wir natürlich, ist gleich, Bereich verschieben von dieser Zelle. Wir schieben das Ganze runter. Wie viel Zeilen? Antwort: "So viel Zeilen". Wie viel Spalten? Keine Spalte. Runter, höhe Breite brauchen wir auch nicht, okay. Das ist unser berechneter Wert. Der exakte Wert, das kopiere ich jetzt einfach mal runter, ändere das schnell ab. Der exakte Wert, wir verschieben es natürlich von dieser Zelle ausgehend nicht L4, sondern ich drücke erst mal "enter", tue ich mir leichter, nicht L4, sondern natürlich L3, geht es runter, Okay, das wäre der exakte Wert. Die Differenz lautet: Nehmen wir einen absoluten Wert "du minus du", dann spielt die Reihenfolge auch keine Rolle, 0,02. Also nochmal bei 10 Schritten haben wir doch ein Delta von 0,079. Bei 20 Schritten wird es verringert auf 0,02. Bei 50 Schritten sind wir schon bei 0,003, oder bei 100 Schritten wird es natürlich immer exakter. Also je feiner wir die Trapeze wählen, umso genauer kommen wir hin. Sie sehen also, das Trapezverfahren ist eigentlich nicht sehr schwierig, ein bisschen Fleißarbeit. Sie müssen die einzelnen Trapeze berechnen, aber mit ein bisschen x*y Mittelwert ausrechnen, das Ganze zerlegen in verschiedenen Scheiben, können Sie sehr schnell aus einer einfachen Funktion oder natürlich aus einer sehr komplexen Funktion mit diesen einfachen EXCEL-Bordmitteln das Integral numerisch berechnen.

Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Lernen Sie, anspruchsvolle mathematische Berechnungen in Excel durchzuführen, z. B. Kurvendiskussion, Trigonometrie, Logarithmen, Matrizenrechnung und Integration.

3 Std. 20 min (44 Videos)
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Erscheinungsdatum:04.05.2017

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