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Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Simpson-Regel

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Eine besseres Näherungsverfahren ist das Simpson-Verfahren. Dort wird die Mitte der Rechtecke mit 4 gewichtet, die linke und rechte Seite nur einmal. Da nur jeder zweite Wert verwendet wird, wird durch 3 geteilt. Die Rechtecke werden addiert.
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Transkript

Das Simpson-Verfahren oder die Simpson-Regel ist eine weitere Möglichkeit, um numerisch zu integrieren. Schauen wir uns das Ganze mal an. Eine Kurve, die soll integriert werden im Bereich zwischen 0 und 2. Ich habe eine Breite 0,2 von einer bestimmten Anzahl, das heißt, wir unterteilen die x-Achse in 10 Scheibchen, in 10 Schritte und gehen in 0,2 Schritten voran. Ich berechne nun einmal jeden Wert, den nächsten Wert und den übernächsten Wert, also jeweils drei Werte zu jedem Punkt. Achtung! Aber nicht an jeder Stelle, sondern nur an jeder zweiten Stelle, das heißt, einmal die x-Werte, von den x-Werten wird dann jeweils der Funktionswert ausgerechnet, einmal vom ersten, einmal von zweiten, einmal vom dritten. So, und nun schlägt Simpson zu, das heißt, hier wird gewichtet, und zwar der mittlere Wert wird mit 4 multipliziert, dieser Wert mit 4 multipliziert, dann wird der Funktionswert von links und von rechts dazu gezählt. Das heißt, der Mittlere ist viermal so stark, das heißt, insgesamt haben wir sechs Funktionswerte, die addiert werden. Da wir nun nur jeden zweiten Wert berechnen, also im Prinzip die Hälfte der Werte haben, teilen wir das Ganze durch 3, das heißt, wir haben auch nur halb so viel Werte. Wir haben die doppelte Fläche eines Rechtecks, das heißt, die Hälfte der Werte mal das doppelte, in dem Fall gewichtete, weil mal 4 Rechteck, und die werden natürlich dann wieder auch summiert, hier noch nicht, sondern hier. Summiere bitte den Wert von oben drüber mit dem Wert von links dran. Und ganz unten ist der approximierte Wert. Bei 10 Schritten oder eigentlich sind es genauer sogar 5 Schritte, erhalten wir eine Differenz von 0,3 zum exakten Wert. Wenn wir die Schrittzahl erhöhen, wie bei den anderen Nährungsverfahren auch, sehen Sie, die Differenz wird kleiner. Und wenn wir sehr stark erhöhen, wird die Differenz natürlich sehr klein. Das Simpson-Verfahren ist ein Verfahren, mit dem man recht gut approximieren kann, sehr viel stärker als das Trapez- oder Rechteckverfahren, bekommt man sehr viel schneller einen exakten, einen guten Wert. Also eine etwas andere Art zu denken, indem man einen der Punkte gewichtet gegenüber den anderen.

Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Lernen Sie, anspruchsvolle mathematische Berechnungen in Excel durchzuführen, z. B. Kurvendiskussion, Trigonometrie, Logarithmen, Matrizenrechnung und Integration.

3 Std. 20 min (44 Videos)
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Erscheinungsdatum:04.05.2017

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