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Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Riemannsche Integrale

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Riemann erweitert das Rechteckverfahren, indem er zwei Rechtecke – Untergrenze und Obergrenze – gegen den eigentlichen Wert konvergieren lässt.
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Transkript

Riemann geht mit seiner Integrationsmethode, also mit dem Riemannschen Integral noch einen Schritt weiter als das Rechteckverfahren. Während das Rechteckverfahren jeweils zu einem Punkt nur ein Rechteck berechnet, so berechnet Riemann einmal ein Unterrechteck und ein Oberrechteck, summiert dann die kleineren Rechtecke und die größeren Rechtecke und versucht, daraus den Durchschnitt, also versucht, daraus die Kleinen gegen die Großen laufen zu lassen, umso eine bessere Approximation zu erhalten. Hier haben wir eine Kurve mit entsprechenden x- und y-Werten. Hier ist das exakte Integral, hier die Kurve dritten Grades, Integral wäre dann vierten Grades. Das Ganze sieht so aus, sehen Sie hier drüben. Und ich hätte ganz gerne das Integral von 0 bis 2 berechnet. Wir lassen eine Reihe laufen, zum Beispiel, von 1 bis in dem Fall 100, berechnen nun x-Werte "x+1"-Werte, jeweils die Nachbarwerte und berechnen nun von jedem Wert den Funktionswert, einmal f(xi) und einmal f(xi)+1. Die Untergrenze berechnet sich nun aus dem Minimum der beiden Zahlen, das heißt, wir nehmen einmal die kleinere Zahl, einmal die größere Zahl von beiden. Diese Zahl wird multipliziert jeweils mit der Breite, das heißt also, Breite mal einmal die kleinere Zahl, die Untergrenze, einmal die Obergrenze. Und dann werden die Untergrenzen, die also die kleineren Rechtecke summiert, die größeren Rechtecke auch summiert. Beobachten wir mal das Verhalten. Wenn wir bei 10 anfangen, ich habe schon mit 100 los gelegt, wenn wir bei 10 anfangen, dann bilden die Untersummen eine Summe in unserem Beispiel von 1,6, die Obersummen wären 2,1; 2,14 und der exakt berechnete Wert liegt bei 1,97. Die Differenz: also einmal 0,3 von Untersummer zu exaktem Wert, einmal haben wir 0,16. Das heißt, sind schon ganz gut im Mittel, wenn man nun die Untersummen und Obersummen mitteln würde. Wenn man den Wert verfeinert, wie natürlich bei den anderen Integralen gehen wir auf 50 hoch, dann nähert sich natürlich Untersumme und Obersumme an. Sie sehen hier, die Differenz wird kleiner, wird kleiner. Und weil wir noch weitergehen, Sie haben es vielleicht noch vorher im Kopf, 100, sehen wir schon bei einer Differenz von 0,03 beziehungsweise 0,03. Sie sehen hier 1,9 gegenüber 2,0, nähert sich beides dem exakten Wert von 1,999 und so weiter an, also der exakte Wert ist natürlich 2. Also, das Riemannsche Verfahren kann auch durch einfache Rechtecke berechnet werden, einfach wieder Länge mal Breite, damit im Unterschied, dass wir halt hier zwei verschiedene Rechtecke haben, von denen wir nochmal den Durchschnitt berechnen.

Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Lernen Sie, anspruchsvolle mathematische Berechnungen in Excel durchzuführen, z. B. Kurvendiskussion, Trigonometrie, Logarithmen, Matrizenrechnung und Integration.

3 Std. 20 min (44 Videos)
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Erscheinungsdatum:04.05.2017

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