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Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Rechteckverfahren

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Das Rechteckverfahren ist wohl das Grundprinzip der Integration – daraus hat sich die Idee des Integrals ergeben.
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Transkript

Während das Trapezverfahren jeweils zwei Punkte berechnet, das heißt, von x1 und x2 den entsprechenden Funktionswert, über diese beiden Funktionswerte dann ein Trapez aufspannt und von diesem Trapez die Fläche berechnet, so arbeitet das Rechteckverfahren ein klein wenig anders, aber doch recht ähnlich. Das Rechteckverfahren geht einfach von dem mittleren Punkt aus, das heißt, von dem Durchschnitt dieser aufgespannten Länge, berechnet davon nur einen Funktionswert und bildet dann ein Rechteck über diesen Punkt. Nun dieses Rechteck ist natürlich nicht identisch mit der Trapezfläche, da bei dem Trapez die Gewichte der Mitte eher ins Gewicht fällt, stärker hervortritt. Bei dem Rechteckverfahren das ist natürlich noch etwas einfacher zu berechnen als eben das Trapezverfahren. Wir haben eine Funktion, an dem Beispiel möchte ich es gerne zeigen, und mit Hilfe dieser Funktion x^3-4,5x^2+5x ist nun, nachdem ich das Ganze runtergezogen habe, ersichtlich, dass wir bei 0 und bei 2 eine Nullstelle haben. Der Graf zeigt auch die visuelle Darstellung des Ganzen, und ich möchte nun das Integral von 0 bis 2 ausrechnen. Das heißt, wir zerlegen diese Kurve in einzelne Rechtecke und summieren die Fläche der Rechtecke auf. Ich fange mal mit 10 Schritten an, indem ich hier eine Liste aufbaue. 1 und mit einer WENN-Funktion lasse ich es dynamisch weiterzählen, je nachdem wie groß der Wert ist. Der erste Wert beträgt immer den Folgewert plus die entsprechende Breite. Der zweite Wert kann ebenso natürlich vom zweiten ausgehend plus die entsprechende Breite, so wäre es runtergezogen. Die Mitte ist dann natürlich der Durchschnitt. Hätte man statt plus geteilt durch 2 auch mit der Funktion MITTELWERT bilden können, und von eben diesem Mittelwert wird der Funktionswert berechnet, also x^3-4,5x^2+5x. Und diese Mitte, diese Höhe werden multipliziert eben mit der Breite, mit der Zelle L4. Das Ganze wird runtergezogen, das Ganze wird kumuliert, so dass am Ende ein Wert rauskommt, der annähernd die Fläche approximiert, das heißt, der etwa das Ergebnis der Stammfunktion des Integrals bildet. Hier die integrierte, die symbolisch integrierte Funktion und der dadurch ausgerechnete Wert. Die werden hier oben nochmal wiederholt, und Sie sehen natürlich eine kleine Differenz bei zehn Rechtecken, die beträgt 0,057. Wenn ich nun die Anzahl erhöhe, die Anzahl der Rechtecke, zum Beispiel auf 50, sehen Sie hier, dass die Differenz kleiner wird, also wir nähern uns dem echten Wert an oder wenn wir noch höher gehen beispielsweise auf 100 Rechtecke, sehen Sie, wird es noch kleiner. Also ein recht einfaches, simples Verfahren, um eine numerische Möglichkeit zur Verfügung zu habe, aus der Summe der Rechtecke ein Integral zu approximieren.

Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Lernen Sie, anspruchsvolle mathematische Berechnungen in Excel durchzuführen, z. B. Kurvendiskussion, Trigonometrie, Logarithmen, Matrizenrechnung und Integration.

3 Std. 20 min (44 Videos)
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Erscheinungsdatum:04.05.2017

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