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Excel: Statistische Funktionen

Rechenregeln für klassische Wahrscheinlichkeiten

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Einige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten sind wichtig: Komplementärereignis, Additions- und Multiplikationssatz.
07:02

Transkript

Wenn Sie mit Wahrscheinlichkeiten rechnen, müssen Sie einige Rechenregeln kennen. Einiges ist wichtig, vor allen Dingen für die Statistik, damit wir mit mehreren Wahrscheinlichkeiten oder bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnen können. Die klassische Wahrscheinlichkeit p berechnet sich aus der Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch die Anzahl der möglichen Fälle. Wichtig ist, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten jeweils 1 beträgt. Das heißt, bei einem Würfelwurf kann jede der sechs Seiten gleich wahrscheinlich auftreten. Also jede Wahrscheinlichkeit beträgt 1 durch die Gesamtanzahl 6, sprich 1/6, das heißt, 6 mal 1/6 ist 1. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten beträgt 1. Umgekehrt das Komplementärereignis. Wie wahrscheinlich ist es, dass ich eine 1, 2 oder 3 werfe? Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Zahl kleiner als 4 kommt? Nun, 1/2, da es drei Möglichkeiten sind, sechs habe ich insgesamt, 3/6 ist 1/2. Wie wahrscheinlich ist jetzt das Umkehrereignis, das Komplementärereignis? Also wie wahrscheinlich ist es, dass ich eine 4, 5 oder 6 würfle? In dem Fall kann ich es ausrechnen, das ist auch 3/6. Oder ich könnte auch sagen, nimm das erste Ereignis, bilde die Differenz von 1 minus der Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses. Das ist das Komplementärereignis. Wenn eine Seite mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 auftritt, tritt natürlich auch die andere Seite mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf. Oder wie wahrscheinlich ist es, dass 1 oder 2 geworfen wird? Natürlich 1/3. Wie wahrscheinlich ist es, dass die anderen vier Zahlen kommen? Genauer, dass eine der vier anderen Zahlen geworfen wird? Na, 2/3, weil bei einem Ganzen minus 1/3 noch 2/3 übrigbleiben. Okay, ich denke, das ist klar. Der Additionszsatz. Angenommen, Sie werfen zweimal. Im ersten Wurf können Sie eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 werfen, im zweiten Wurf das Gleiche, auch hier können Sie 1 bis 6 werfen. Das heißt, insgesamt habe ich nun 6 mal 6, also 36 Möglichkeiten, und jede Einzelwahrscheinlichkeit, jeder einzelne Fall, tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/36 auf. Also wie wahrscheinlich ist es, eine 1 und noch eine 1 zu werfen? Also mit dem einen Würfel eine 1 und mit dem anderen eine 1? Nun, 1/36. Wenn ich jetzt mehrere Ereignisse habe und möchte wissen, wie groß die Gesamtwahrscheinlichkeit von beiden Ereignissen ist, müssen Sie überlegen, wie diese beiden Ereignisse zusammenstehen. Der erste Fall ist der einfache Additionssatz. Das heißt, angenommen zwei Fälle schließen sich völlig aus. Hier habe ich es mit den beiden weißen Kreisen dargestellt, entweder das eine oder das andere, beides zugleich geht nicht. Wie wahrscheinlich ist es, eine "1/1" oder eine "6/6" zu würfeln? Hier haben wir einen Fall. Hier haben wir einen Fall. Die Wahrscheinlichkeit hier beträgt 1/36, hier auch 1/36, also haben wir insgesamt 2/36, also 1/18. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine "1/1" oder eine "6/6" werfe, beträgt 1/18. Hier darf ich die Wahrscheinlichkeiten einfach addieren. Okay, was heißt das nun, der allgemeine Additionssatz? Das heißt, die Ereignisse schließen sich nicht aus. Es kann ja sein, ich habe ein Ereignis, ich habe ein zweites, und es gibt einen Bereich, eine Schnittmenge, bei denen beide Ereignisse eintreten. Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, dass ich mit dem ersten Würfel eine 1 werfe, aber mit dem zweiten eine 3? Also, nehmen wir die Spalte und, Steuerungstaste, die Spalte. Sie sehen, das Ereignis überschneidet sich mit dem einen Würfel eine 1, mit dem anderen Würfel eine 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich mit einen Würfel eine 1 werfe, dafür gibt es sechs Möglichkeiten von insgesamt 36, das heißt, 6 geteilt durch 36 ist 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine 3 werfe, ist genauso hoch, 6 geteilt durch 36 ist auch 1/6. Das heißt, ich darf zusammenzählen, 1/6 plus 1/6, das ist klar. Aber jetzt muss ich noch abziehen, minus den Fall, den haben wir ja zweimal betrachtet, den muss ich abziehen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit davon ist, 1 von insgesamt von 36, also muss ich 1/36 wieder abziehen. Das heißt, wir hätten hier "=6/36+6/36-1/36" "=6/36+6/36-1/36". Es ist leichter, wenn Sie es als Bruch schreiben, dann kommt nämlich 11/36 heraus. Oder in der Dezimalschreibweise wäre das 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder mit dem einen Würfel eine 1 oder mit dem anderen eine 3 geworfen wird, beträgt etwas weniger als 1/3. Und schließlich haben wir noch einen dritten Satz. Ich denke, die beiden Sätze sind anschaulich und einleuchtend. Entweder die beiden Ereignisse haben nichts miteinander zu tun oder die beiden Ereignisse überschneiden sich. Ich möchte aber die Gesamtwahrscheinlichkeit von beiden haben. Oder, dritter Fall, beim Multiplikationssatz, die Ereignisse überschneiden sich, aber ich möchte nicht die Ereignisse insgesamt, sondern die Schnittmenge wissen. Bleiben wir mal bei unserem "1/3"-Spiel. Bleiben wir mal dabei mit dem ersten Würfel eine 1, mit dem zweiten Würfel eine 3 zu würfeln. Ich könnte es auch anders herum markieren. Wie wahrscheinlich ist es, dass ich sowohl mit dem ersten eine 1, als auch mit dem zweiten Würfel eine 3 würfle? Das heißt, das eine und das andere Ereignis soll eintreten. In der Mathematik gibt es ein Symbol für die Schnittmenge, "A ∩ B" und gerechnet wird es einfach mit einem "Mal". Hier habe ich 1/6, also 6/36, hier genauso 1/6, das heißt 1/6 mal 1/6, das ist 1/36. Hier in diesem Beispiel kann man es natürlich direkt berechnen, weil ich weiß, da gibt es genau ein Ereignis, dagegen habe ich hier 36 Möglichkeiten, das heißt, 1/36. Allerdings gibt es Fälle – und die sind nicht so selten, da kann ich es nicht direkt ausrechnen. Aber ich kenne diese Wahrscheinlichkeit und diese und wenn ich die miteinander multipliziere mit dem Multiplikationssatz, dann bekomme ich das Ergebnis, in unserem Fall 1/36.

Excel: Statistische Funktionen

Lernen Sie die wichtigsten statistischen Funktionen in Excel kennen und erfahren Sie, was diese eigentlich berechnen und wofür Sie sie verwenden können.

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