Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Newtonsches Näherungsverfahren

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Am (einfachen) Beispiel des Newtonschen Näherungsverfahrens wird gezeigt, wie man mit den Iterationsschritten schnell den Wert einer Berechnung ermitteln kann.
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Transkript

Das Intervallhalbierungsverfahren ist natürlich ein nettes Verfahren, leicht zu verstehen, leicht nachzuvollziehen, aber natürlich kein gutes, gut geeignetes Näherungsverfahren. In der Mathematik sind wesentlich bessere Näherungsverfahren bekannt. Zum Beispiel, wenn ein guter Startwert vorliegt, kann das Newtonsche Näherungsverfahren, oder auch Newtonsche Tangenten-Näherungsverfahren, verwendet werden. Es geht davon aus, dass eine Steigung, dass die Ableitung einer Kurve bekannt ist. Dazu braucht man nicht nur den Wert von f(x), sondern auch den Wert f abgeleitet von x, also f'(x). Ich habe hier nun eine Funktion f(x)=x^3+2x-6. Das Newtonsche Näherungsverfahren berechnet den Endwert, der wieder von vorne eingespeist wird in x-f(x)/f'(x). Das kann man sich visualisieren lassen, ist seine einfache Sache. Das gilt aber nur beziehungsweise er iteriert nur dann, wenn die sogenannte Lipschitz-Bedingung erfüllt ist, das heißt, wenn f(x)* f''(x)/(f'(x))^2) kleiner oder gleich 0,2 ist. Auch das kann man zeigen. Das interessiert uns hier an dieser Stelle nicht. Da wir F1 und F2 brauchen, muss ich diese Funktion einmal symbolisch ableiten, das heißt, f'(x) lautet dann, das kann ich noch im Kopf, das ist 3x^2+2, und die zweite Ableitung wäre dann f''(x)=6x. Machen wir die Schrift ein bisschen größer sowie oben, so, und können wir es auch besser sehen. Man könnte nun den Graf dieser Funktion zeichnen. Ich weiß, das habe ich schon vorher probiert, dass etwa bei 1,5 eine Nullstelle vorliegt, das heißt mit anderen Worten, wenn ich hier f(x) berechne ="du Zahl"^3+2*"du Zahl"-6, dann erhalte ich hier den Wert 0,3, also schon recht klein. Die erste Ableitung, ich kopiere das mal runter. Die erste Ableitung würde dann berechnet werden =3*"diesen Wert"^2+2, und die zweite Ableitung würde liefern =6*"diesen Wert". Wunderbar. So, dann können wir die Lipschitz-Bedingung überprüfen, also ist gleich, der Funktionswert, mal die zweite Ableitung, das Ganze geteilt durch, ich mache zur Sicherheit eine Klammer auf, die erste Ableitung ins Quadrat, Klammer zu, und der Wert lautet 0,04, also ist sehr viel kleiner als 0,2, das heißt, das Newtonsche Näherungsverfahren wird funktionieren. So, und dann können wir es mal ausprobieren. Hier haben wir ja im Prinzip schon die Werte, das heißt, ich kann nun berechnen ist gleich, den Startwert, minus, den Funktionswert, geteilt durch die erste Ableitung. Okay. Es kommt draus 1,457, also ein bisschen kleiner als der ursprüngliche Wert. Und dieser Wert muss wieder zurückgespeist werden und damit muss iteriert, muss durchgerechnet werden. Dazu stelle ich mal wieder unter "Datei" "Optionen" in den "Formeln" ein "Bitte, rechne iterativ". Und da ich es sehen möchte, da ich natürlich zuschauen möchte, bitte, mache in Einerschritten, bitte marschiere hier nicht los und zeige mir das Ergebnis, sondern bitte zeige mal, was du intern tust. Und jetzt kann ich mit ist gleich diesen Wert dadrauf zugreifen. "enter". Sie sehen, die Berechnung startet schon, und mit Formeln kann ich das Ganze nun aktivieren. Eins, zwei, drei, vier, und Sie sehen im Hintergrund, wie er rechnet. Er wird immer genauer, und jetzt zeigt er schon gar nichts mehr, und hier hört er auf, zu rechnen, hier sind wir schon ganz unten bei 0. Prima! So haben wir auch die Nullstelle gefunden. Mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahren und haben gesehen, anhand der Anzahl der Klicks das geht natürlich viel schneller als mit dem Intervallhalbierungsverfahren. Beides verwendet die Iterationsmethode, beides setzt voraus, dass unter "Datei" "Optionen" in den Formeln eingestellt ist "Iterative Berechnung aktivieren". Und meine Empfehlung: Wenn Sie so etwas machen, bitte, bitte, deaktivieren Sie es, also schließen Sie natürlich die Datei vorher, schalten Sie es wieder aus, nicht dass Sie vielleicht in einer anderen Datei oder gar in der gleichen Datei einen Zirkelbezug haben, mit dem Sie dann fehlerhafte Berechnungen bekommen, also einschalten, durchrechnen, ausschalten.

Excel: Technische und mathematische Berechnungen

Lernen Sie, anspruchsvolle mathematische Berechnungen in Excel durchzuführen, z. B. Kurvendiskussion, Trigonometrie, Logarithmen, Matrizenrechnung und Integration.

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Erscheinungsdatum:04.05.2017

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