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Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Modulo – Division mit Rest

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Modulorechnung (auch Division mit Rest oder Divisionsalgorithmus genannt) ist ein mathematischer Satz aus Algebra und Zahlentheorie, der den ganzzahligen Rest einer Division liefert, aber auch die Anzahl festlegt, wie oft ein Teiler in eine Zahl geht. Man benötigt Modulo etwa bei sich wiederholenden Aktionen. Modulo ist auch für reelle Zahlen definiert, aber in der technischen Umsetzung auf dem Computer gibt es in der Regel Rundungsprobleme.
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Transkript

Das Modulo-Verfahren ist ein immens wichtiges Konzept in der Mathematik. Sie brauchen das für alle wiederkehrenden Operationen, beispielsweise Animation, die Sie nach einer gewissen Zeit wiederholen wollen, eigentlich alles, was mit Datum und Zeit zu tun hat, man möchte jeden zweiten Tag der Woche, einen bestimmten Termin haben, jede Stunde soll eine Uhr klingeln oder solche Geschichten. Also immer dann, wenn es an Wiederholungen geht, ist Modulo immens wichtig. Es gibt aber auch noch andere Anwendungen dafür. Man nennt Modulo auch Division mit Rest, beziehungsweise man nennt das Verfahren den Divisionsalgorithmus. Dieser mathematische Satz stammt aus dem Gebiet der Algebra, ihn gibt es aber auch in der Zahlentheorie. Zahlentheorie und Algebra sind sehr verwandt. Nur am Rande erwähnt, die allgemeinste mathematische Struktur, wo eine Division mit Rest auftritt, ist der sogenannte Euklidische Ring. Grundsätzlich sagt dieser Algorithmus, dass es zu zwei Zahlen, in diesem Fall n und m genannt, die müssen ungleich Null sein, eindeutig bestimmte Zahlen a und r gibt, für die folgender Satz gilt: n = a * m + r und r ist entweder 0 oder kleiner als hier dieser Teiler. Das heißt, der Rest r, der Rest der Division ist die Differenz zwischen dem Dividenden und dem größten Vielfachen des Divisors. Und r kann eben 0 sein immer dann, wenn es keinen Rest gibt oder ungleich 0, wenn der Dividend eben nicht durch den Divisor teilbar ist. Wie üblich in der Mathematik klingt das jetzt alles erstmal sehr abstrakt und theoretisch. Wir schauen uns das mit Beispielen mal an. Ich habe hier einen Taschenrechner von Windows und ich rechne mal 5 mod 2. Der Begriff "mod" steht für Modulo, wird sehr oft mit "mod" bezeichnet. In vielen Programmiersprachen nimmt man %, das sehen wir auch gleich nochmal. % aber nur als Token zu verstehen, das ist dann keine Prozentrechnung. Was ist 5 mod 2? Wir überlegen uns, dass wir die 2 zweimal in die 5 reinbekommen ganzzahlig, dann haben wir 4 und der Rest der übrig bleibt, das ist das Ergebnis des Modulo. Das heißt also, wir versuchen in eine Zahl, einen Teiler ganzzahlig reinzubekommen, so oft wie es geht und das was übrig bleibt, das interessiert uns. Die 5 geht genau einmal in 9 rein und 4 bleibt übrig. Natürlich kann man das alles auch von Hand berechnen. Man stelle sich vor, man schreibt hin 7 / 3, dann hat man Rest 1, ganz klar. 2 mal 3 ist 6, das geht ganzzahlig hier rein und es bleibt 1 übrig. Nun haben wir bisher nur mit ganzen Zahlen operiert, aber was ist beispielsweise mit der Verallgemeinerung auf reelle Zahlen, also zum Beispiel was 7,1 modulo 3,5 ist, geht das überhaupt? Ja, Modulo kann auf reelle Zahlen erweitert werden, aber man muss beachten, dass es Rundungsprobleme gibt. Das hängt an der Implementierung auf dem Computer, wir reden jetzt über die technische Umsetzung, natürlich nicht in der Mathematik als Theorie, aber wenn man es praktisch anwendet. Und es ist mit großer Vorsicht zu genießen. Ich habe hier mal ein kleines Java-Programm und hier berechne ich verschiedene Modulo-Vorgänge. Beachten Sie, dass in Java das Prozentzeichen als Modulo-Operator definiert ist, in anderen Sprachen nimmt man auch "mod" als Operatorzeichen oder als Funktion oder sonstiges. Das hängt natürlich an der konkreten Sprache. Wenn ich das ausführe, dann sehen Sie insbesondere bei den Modulo-Vorgängen mit reellen Zahlen, dass wir hier effektive Rundungsfehler haben. Diese Fehler kommen nicht, selbstverständlich nicht von der mathematischen Theorie, das sind schlicht und einfach Implementationsprobleme bei Gleitkommaarithmetik, die man nicht nur bei Modulo hat, sondern auch bei anderen Operationen, alles was irgendwie mit Division zu tun hat, ist bezüglich Rundungsfehler sehr kritisch. Grundsätzlich haben Sie in diesem Video also kennengelernt, was das Modulo-Verfahren ist, die Division mit Rest und es interessiert so gut wie immer nur der übriggebliebene Rest, aber Sie haben auch das Verfahren kennen gelernt, dass Sie berechnen können, wie oft ein Teiler in eine andere Zahl hinein geht.

Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Lernen Sie die Themenbereiche und Verfahren aus der Mathematik kennen, die bei der täglichen Programmierarbeit zum Einsatz kommen.

2 Std. 54 min (40 Videos)
Sehr gut, viel mehr davon
Thomas G.
Bitte solche Themen weiterführen und vertiefen
 
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Erscheinungsdatum:04.10.2016
Aktualisiert am:19.12.2016

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