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Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Matrizen berechnen

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Der Umgang mit Matrizen im Allgemeinen (mit Vektoren als Spezialfälle) ist die Grundlage für viele visuelle Operationen wie Verschiebungen, Drehungen etc. Dieses Video frischt einfache Grundregeln beim Verknüpfen von Matrizen auf. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen (meist Zahlen), mit denen sich in bestimmter Weise rechnen lässt.
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Transkript

Das Konzept der Matrizen -- oder Singular, einer Matrix -- steht im Fokus von diesem Video. Eine Matrix ist erst einmal nur eine rechteckige Anordnung von Elementen, meist Zahlen. Man kann sich das durchaus als Tabelle vorstellen. Mit den Objekten in dieser Tabelle, in dieser rechteckigen Anordnung, lässt sich auf eine bestimmte Art und Weise rechnen. Es gibt verschiedene Regeln, Konzepte, was man mit Matrizen machen kann. Man kann sie addieren, miteinander multiplizieren, man kann mit einem Skalar multiplizieren und ähnliche Dinge. Wir werden ein paar wesentliche Konzepte hier in diesem Video kennenlernen. Matrizen können eine beliebige Dimensionalität besitzen. Sehr oft sind sie zweidimensional, aber das ist durchaus erweiterbar, und sie stellen ein Schlüsselkonzept der sog. linearen Algebra dar. Sie werden aber auch in anderen mathematischen Konzepten benutzt. Matrizen werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen. Ich habe hier ein Programm, womit wir eine Matrix sehr einfach eingeben können. Und diese Darstellung mit diesen runden Klammern ist üblich. Nun können wir mit dieser Matrix beispielsweise rechnen. Wir können sie mit einer anderen Matrix addieren, d.h. wir würden hier ein Pluszeichen machen und eine weitere Matrix einfügen. Die sollte, damit es einfach ist, die gleiche Dimension haben. Einmal die 7, 8, 9, und die 10. Und hier sehen Sie, was rauskommt. Es ist relativ offensichtlich, dass die Addition von Matrizen sehr einfach ist. Sie machen nichts weiter als die jeweiligen Positionen immer miteinander zu addieren. Also, 3 plus 7, das ist die erste Position links oben mit der ersten Position links oben. 4 plus 8 sind 12, 5 plus 9 sind 14 und 6 plus 10 gibt 16. Das Programm ist auch sehr nützlich, um die einzelnen Lösungsschritte zu sehen. Sie sehen also bei der Addition werden, wie beschrieben, die einzelnen Positionen dieser beiden verknüpften Matrizen addiert. Die Multiplikation einer Matrix ist auch sehr einfach, insbesondere wenn sie mit einem Skalar multipliziert werden soll. Wir nehmen wieder eine Matrix, multiplizieren beispielsweise mit dem Wert 5. Und Sie sehen, dass jeder einzelne Wert in der Matrix mit der Zahl 5 multipliziert wurde. Sie können auch Matrizen miteinander multiplizieren, allerdings muss dann die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen. Das ist selbstverständlich dann gegeben, wenn sie rechteckig und gleich groß sind. Fangen wir mal damit an. Wie ergeben sich nun diese Zahlen? Nun, Sie müssen die erste Zeile dieser Matrix mit der ersten Spalte der verknüpften Matrix verbinden. Und zwar so, dass Sie rechnen: 3 mal 2 plus 4 mal 6. Und damit haben Sie den ersten Zielwert. Dann nehmen Sie 3 mal 4 plus 4 mal 8 und haben den zweiten Zielwert. Das ist diese Position. Dann nehmen Sie 5 mal 2 plus 6 mal 6. Dann haben Sie diese Position. 5 mal 4 plus 6 mal 8, haben Sie diese Position. Sie merken also, warum die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen muss. Schauen wir uns das nochmal für einen Fall an, wo wir keine identisch großen Matrizen haben. Ich nehme eine Matrix, zwei Zeilen, drei Spalten, und multipliziere diese mit einer Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten. Und das funktioniert. Denn wir haben die Möglichkeit, jede Spalte in der linken Matrix mit einer genauso großen Anzahl an Zeilen in der rechten Matrix zu verknüpfen. Nun gibt es noch eine ganze Reihe an weiteren Konzepten bei Matrizen, die nicht ganz uninteressant sind, die ich aber nur andeuten möchte. Wenn ich beispielsweise eine Matrix habe, die ich transponieren möchte, dann drehe ich die Position an einer gedachten Mittellinie um, in einer Diagonalen. D.h. wenn wir ganz normal die Zahlen 1 bis 9 haben, und transponiere diese Matrix -- genau genommen, muss ich das als Funktion davor schreiben -- dann sehen Sie, dass die Zahl 7, die ursprünglich links unten jetzt rechts oben steht, die Zahl 2, die ursprünglich in der Mitte oben jetzt auf der linken Seite in der Mitte steht. An dieser Linie von 1 bis 9 wurden die Werte quasi gespiegelt. Wir wollen es in diesem Video damit gut sein lassen, auch wenn es noch weitere Konzepte gibt, wie das Invertieren von Matrizen und ähnliche Sachen. Sie haben aber in diesem Video jetzt einen Einblick bekommen, was Matrizen sind und wie man sie bei einfachen Operationen verknüpfen kann, auch wie sie beispielsweise mit einem Skalar verbunden werden können.

Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Lernen Sie die Themenbereiche und Verfahren aus der Mathematik kennen, die bei der täglichen Programmierarbeit zum Einsatz kommen.

2 Std. 54 min (40 Videos)
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Erscheinungsdatum:04.10.2016
Aktualisiert am:19.12.2016

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