Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Koordinatensysteme und Vektoren

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Wenn man geometrische Objekte beschreiben oder auch transformieren oder animieren will, spielt das Konzept des Koordinatensystems eine zentrale Rolle. Die Positionen von Punkten im Koordinatensystem kann man als Vektoren auffassen. Koordinatensysteme samt der Koordinaten darin sowie Vektoren bilden die Basis (fast) aller grafischen Oberflächen und Animationen.
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Transkript

Unser Thema in diesem Video sind Vektoren und Koordinaten, beziehungsweise Koordinatensysteme. Die grundsätzliche Überlegungen dazu. Etwas offensichtlich ganz abstraktes, vollkommen realitätsfernes, oder? Nun, dann schauen Sie sich mal das hier an. Das hat was mit Vektoren zu tun, und mit Koordinatensystemen. Oder das hier. Oder auch das hier, oder das, auch das hier hat etwas mit Vektoren, Koordinatensystem und natürlich auch in dem Fall mit trigonometrischen Funktionen zu tun. Worauf ich hier raus möchte: Diese ganzen Animationen, diese grafischen Oberflächen, die Sie bei der Programmierung haben, basieren darauf, dass man Punkte im Koordinatensystem hat, und dort grafische Primitive zeichnen kann, aber auch Komponenten wie beispielsweise Buttons und ähnliche Dinge. Aber die Grundlage davon ist ein Koordinatensystem und in gewissen Fällen sogar explizit Vektoren. Das sehen Sie hier. SVG steht für "Scalable Vector Graphics", da sind sogar Vektoren explizit erwähnt. Aber grundsätzlich, auch bei solchen Geschichten hier sind Positionsangaben für die Größe von Objekten von Bedeutung. Was ich also provokant am Anfang gesagt habe, vollkommen abstrakt und realitätsfern, stimmt natürlich gar nicht, ganz im Gegenteil. Koordinatensysteme, Vektoren, Koordinaten sind die Grundlage jeder grafischen Oberfläche und im Grunde auch die Grundlage fast aller Animationstechniken. Stellen wir uns also die Frage: Was ist er ein Koordinatensystem? Ein Koordinatensystem kennen Sie aus der Schulmathematik. Das heißt, wenn man so typischerweise im Koordinatensystem malt oder angibt, dann macht man hier so einen Strich mit einem Pfeil. Einen Strich in eine andere Richtung. Und dann hat man hier so ein paar Begriffe, die wir uns klar machen wollen. Das hier sind die sogenannten Achsen des Koordinatensystems. das würden Regel als die y-Achse bezeichnet, das als die x-Achse. Das hier unten, das ist der sogenannte Ursprung des Koordinatensystems, und von diesem Ursprung aus werden alle Koordinatenangaben in den Koordinatensystem angegeben. Wenn wir so einen Punkt haben, dann wird eine x-Angabe und eine y-Angabe genügen, um diesen Punkt eindeutig zu spezifizieren. Man benötigt dann noch eine Skalierung. Das sind in solche Striche hier, die alle einen gleichen Abstand haben. Man kann zum Beispiel sagen, dass dieser Punkt hier bei (2, 3) liegt. Wenn man jetzt einen zweiten Punkt hat, der hat dann die Angabe (3,3). Dann kann man hier zwischen diesen beiden Koordinatenangaben geometrische Figuren zeichnen, geometrische Primitive. Bei zwei Angaben natürlich nur eine Linie. und der Algorithmus wäre eindeutig, Hätte man noch eine dritte Angabe, irgendeinen Punkt hier, dass zwischen den Punkten Linien zu ziehen sind, dann hätte man hier ein Dreieck. Nun können Sie Algorithmen definieren, um beispielsweise an diesem Punkt hier das Dreieck zu drehen, zu rotieren. Sie können sich aber auch Algorithmen überlegen. Z. B. jeden Punkt um zwei Einheiten auf einer Achse zu verschieben, die sogenannte Translation. Sie können aber auch sich überlegen, die Punkte zusammenschnurren zu lassen, Skalierungen. Alles basiert darauf, dass Sie eben diese Koordinatenangaben haben. Jetzt haben wir ein Koordinatensystem, wir haben den Begriff der Achsen, der Einheiten hier, der Skalen, den Ursprung von einem Koordinatensystem, wie kommen jetzt Vektoren in Spiel? Ein Vektor ist eine sogenannte gerichtete Größe, genau zu diesem Punkt hin -- zu einem Punkt hin. Und diese gerichtete Größe, die nennt man einfach Vektor. Sie wird in einem zweidimensionalen Koordinatensystem durch genau zwei Angaben spezifiziert. Gehen wir auf 3D Grafiken beispielsweise, haben wir eben drei Angaben. Ich kann es verallgemeinern, was aber in der Regel gerade für grafische Oberflächen nicht notwendig ist. Nun gibt es bezüglich des Koordinatensystems in der Programmierung speziell oder allgemein in der EDV-Technik, noch eine Besonderheit. Diese y-Achse, die hier nach oben geht, so wie man es in der Schulmathematik kennt, die wird in der Programmierung in der Regel nach unten gehen, und der Koordinatenursprung ist links oben. Das heißt, die y-Achse geht nach unten, und die x-Achse geht in die gleiche Richtung. Der Koordinatenursprung liegt hier. Es spielt keine Rolle, man kann Koordinatensysteme beliebig angeben. im Grunde kann man sie drehen man kann sie spiegeln, das spielt wirklich keine Rolle. Der entscheidende Punkt, warum man das so macht, ist rein technischer Natur. Denn wie wird ein Bildschirm aufgebaut? Von oben nach unten, denken Sie daran, dass Sie beispielsweise scrollen können. Und dann bleibt der Ursprung im Koordinatensystem fest, nämlich links oben, und nach unten können Sie beliebig scrollen. Das ist auch der Punkt, warum er links ist, und nicht rechts, was auch möglich wäre. Bei dieser Rotation eines grafischen Objektes beispielsweise, haben wir ja so ein Koordinatensystem, Hier links oben ist der Ursprung, und die Punkte zur Angabe eines Rechtecks die Vektoren, das sind vier Stück. Man kann das Rechteck konventionell zeichnen, und dann rotieren, beispielsweise. Um es zusammenzufassen, die Basis so gut wie aller grafischen Oberflächen im Rahmen der Programmierung ist ein Koordinatensystem, die Angabe von Koordinaten darin. Damit spezifizieren Sie sogenannte Vektoren. Die werden vom Ursprung des Koordinatensystems aus gesehen, und der ist links oben in einem gewissen Bereich. In dem Fall ist es ein "Canvas"-Bereich, also ein Bereich, um etwas zu zeichnen. Und über geeignete Algorithmen lassen sich diese Punkte rotieren, skalieren, transformieren. Und man kann zwischen den Punkten durch das Zeichnen von Linien Objekte generieren und diese selbstverständlich dann auch füllen.

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2 Std. 54 min (40 Videos)
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Erscheinungsdatum:03.10.2016
Aktualisiert am:19.12.2016

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