Unsere Datenschutzrichtlinie wird in Kürze aktualisiert. Bitte sehen Sie sich die Vorschau an.

Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Komplexe Zahlen und die Einführung einer imaginären Zahl

Testen Sie unsere 2021 Kurse

10 Tage kostenlos!

Jetzt testen Alle Abonnements anzeigen
Komplexe Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen so, dass man aus -1 die Wurzel ziehen kann. Dazu wird eine imaginäre Zahl i eingeführt – die imaginäre Einheit. In dem Video sehen Sie, wie Sie mit komplexen Zahlen rechnen.
08:46

Transkript

Komplexe Zahlen zählen nicht zum täglichen Brot eines Programmierers, aber man braucht sie gelegentlich, und es ist sinnvoll, dass Sie sich klarmachen, was es damit auf sich hat. und was diese sogenannten imaginären Zahlen darstellen. In diesem Video geht es darum. Es geht grundsätzlich um das Problem, dass man in den reellen Zahlen keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann. Komplexe Zahlen erweitern deswegen den Zahlenbereich der reellen Zahl so, dass eine Gleichung wie diese hier lösbar ist. Sie haben hier das Quadrat. Das Quadrat einer negativen Zahl ist erstmal positiv, und dementsprechend ist die Gleichung so nicht lösbar, zumindest nicht in reellen Zahlen. Wenn man jetzt mit einer sogenannten imaginären Zahl i arbeitet, ist diese Gleichung lösbar, denn diese Zahl i wird als imaginäre Einheit bezeichnet, und hat eben genau diese Eigenschaft, dass i² gleich -1 ist. Was im Umkehrschluss bedeutet, dass die Wurzel aus -1 i ergibt. Wir schauen uns jetzt einmal an, wie man mit komplexen Zahlen rechnen kann, denn man kann damit genauso rechnen wie mit reellen Zahlen. Die Regeln für komplexe Zahlen müssen natürlich den Regeln, die für reelle Zahlen gelten, genügen, aber sie müssen eben auch beschreiben, wie mit diesem Imaginärteil umzugehen ist. Insbesondere müssen wir uns auch klarmachen, wie die Darstellung einer komplexen Zahl überhaupt erfolgt. Wir beginnen mit der Addition von komplexen Zahlen, das ist das einfachste. Eine komplexe Zahl wird immer durch ihren Realteil dargestellt, und den Imaginärteil als eine Art vielfaches von i, und man stellt das Additiv dar, also Realteil, plus Imaginärteil. Ich habe jetzt zwei komplexe Zahlen, z1 und z2 hier, mit dem Realteil a und Imaginärteil b, hier der Realteil c und Imaginärteil d. Die Addition erfolgt immer so, dass die Realteile und die Imaginärteile addiert werden, und dann fügt man an den Imaginärteil das i wieder dran. Schauen wir uns ein Beispiel an: Ich gebe hier eine Zahl als komplexe Zahl ein, dann kommt die Addition einer weiteren komplexen Zahl. Beachten Sie, dass das + zur Darstellung der ersten komplexen Zahl zählt, und das + hier zur Darstellung der zweiten komplexen Zahl zählt, und hier das + die komplexe Addition darstellt. Wir addieren die beiden Bestandteile, jeweils separat, also 3+5, der Realteil und 2+5 für den Imaginärteil, und deswegen haben wir hier als Lösung die komplexe Zahl Realteil 8, und einem Imaginärteil 7. Und hier sind die Lösungsschritte aufgezeichnet. Die Subtraktion von komplexen Zahlen ist ähnlich einfach wie die Addition. Wir haben wieder die gleiche Struktur an zwei komplexen Zahlen, und in dem Fall wird in der Subtraktion einfach der eine Realteil von dem anderen abgezogen, und der eine Imaginärteil vom anderen. Schauen wir uns auch hier ein Beispiel an: Ich gebe eine komplexe Zahl ein, und ziehe eine andere komplexe Zahl ab, zur Sicherheit klammere ich das, damit nicht dieses + Zeichen hier, das zur Darstellung einer komplexen Zahl ja notwendig ist, um den Imaginärteil anzufügen, als mathematisches Plus verstanden wird. Und dann sehen Sie, dass der Realteil der zweiten Zahl, also die 3, vom Realteil der ersten Zahl abgezogen wird, und der Imaginärteil der zweiten Zahl vom Imaginärteil der ersten Zahl, und das Ergebnis ist 2+3i. Etwas komplizierter ist die Multiplikation komplexer Zahlen. Die Multiplikation erfolgt nach dieser Regel hier: Realteil der ersten Zahl mal Realteil der zweiten Zahl plus Imaginärteil der ersten mal Imaginärteil der zweiten mal i². i² wird zu -1, also wird (ac-bd) hier gerechnet. Und dann wird addiert, für den Imaginärteil (ad + bc)i. Sie sehen also, hier wurde i² zu -1 ausmultipliziert. Wir schauen uns auch dafür ein Beispiel an: Das ist meine erste komplexe Zahl, und das hier soll meine zweite sein. Und die wollen wir multiplizieren. Das ist das Ergebnis. Die Lösungsschritte sind wieder sehr interessant, hier werden die komplexen Zusammenhänge etwas deutlicher. Ich muss also zuerst die Realteile miteinander multiplizieren, also dreimal vier ist dieser Schritt. Und dann müssen auch die Imaginärteile miteinander multipliziert werden. Das wird bei der Abfolge von diesem Programm an dieser Stelle gemacht. Diese -5 ergibt sich aus 5 mal 1i². Diese drei i ergeben sich aus dreimal 1i, und dann muss noch bc benutzt werden, also dieses 5 mal 4i, das haben wir hier. Und wenn man das ausrechnet, kommt eben 7+23i raus. Das hier ist dann ganz einfach, Addition und aufspalten in den Realteil und Imaginärteil. Am komplexesten ist die Division komplexer Zahlen. Sie erfolgt nach dieser Regel hier: Was bewirkt, was bedeutet diese Regel? Sie sehen, dass ich hier die erste kompexe Zahl, (a+bi) und hier die zweite komplexe Zahl habe, und beide werden erweitert. Dieses c kommt hiervon, dieses d natürlich hiervon, aber Sie sehen hier ein -, ich mache das auf beiden Seiten, damit verändere ich ja nicht den Ausdruck. Ich habe aber dadurch einen Vorteil. Die Erweiterung des Bruchs um diese sogenannte konjugierte komplexe Zahl, konjugiert heisst, ich habe dann hier ein - statt einem +, führt dazu, dass der Nenner reell wird, denn das führt dazu: Der Nenner wird zu c² + d², und dann kann ich hier ganz einfach dividieren beziehungsweise addieren. Das ist der Realteil, und das ist der Imaginärteil, der daraus entsteht. Lassen Sie uns auch ein kurzes Beispiel mit Microsoft Mathematics durchspielen. Ich habe eine komplexe Zahl, und teile die durch eine andere komplexe Zahl. Und das ist das Ergebnis. Die Lösungsschritte, die ich jetzt nicht einzeln kommentieren werde, entsprechen vollkommen dieser Formel, die wir an der Stelle gesehen haben. Sie haben also in diesem Video komplexe Zahlen und den Imaginärteil, die imaginäre Einheit kennengelernt, und wie man die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen durchführen kann.

Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Lernen Sie die Themenbereiche und Verfahren aus der Mathematik kennen, die bei der täglichen Programmierarbeit zum Einsatz kommen.

2 Std. 54 min (40 Videos)
Derzeit sind keine Feedbacks vorhanden...
 
Exklusiv für Abo-Kunden
Erscheinungsdatum:04.10.2016
Aktualisiert am:19.12.2016

Dieser Online-Kurs ist als Download und als Streaming-Video verfügbar. Die gute Nachricht: Sie müssen sich nicht entscheiden - sobald Sie das Training erwerben, erhalten Sie Zugang zu beiden Optionen!

Der Download ermöglicht Ihnen die Offline-Nutzung des Trainings und bietet die Vorteile einer benutzerfreundlichen Abspielumgebung. Wenn Sie an verschiedenen Computern arbeiten, oder nicht den ganzen Kurs auf einmal herunterladen möchten, loggen Sie sich auf dieser Seite ein, um alle Videos des Trainings als Streaming-Video anzusehen.

Wir hoffen, dass Sie viel Freude und Erfolg mit diesem Video-Training haben werden. Falls Sie irgendwelche Fragen haben, zögern Sie nicht uns zu kontaktieren!