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Excel: Statistische Funktionen

Einige Eigenschaften der Normalverteilung (NORM.S.VERT)

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Das Verhältnis der Normalverteilung zur Standardabweichung und dem Erwartungswert weist einige interessante Eigenschaften auf.
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Transkript

Die Normalverteilung, die Gaußsche Normalverteilung oder Standardnormalverteilung, hat einige sehr wichtige Eigenschaften. Hier sehen Sie noch einmal die Kurve einer Normalverteilung bei einem Erwartungswert von 120 mit einer Standardabweichung von 30. Der Erwartungswert ist in der Mitte, Das heißt, das ist mein Median oder auch mein Modalwert. Dieser Wert taucht am häufigsten auf, dieser Wert steht genau in der Mitte der Kurve. Die Standardabweichung, hier 30, kann ich nach links und rechts abtragen, einmal, zweimal, dreimal. Wenn ich den Erwartungswert plus die Standardabweichung abtrage, dann gelange ich hier zu dem Wendepunkt. Vielleicht erinnern Sie sich noch, der Wendepunkt ist der Punkt, bei dem sich die Krümmung ändert, das heißt, wenn wir von oben auf diesen Berg schauen, stellen Sie sich eine Straße vor und Sie fahren hier mit einem Fahrrad, dann muss hier der Lenker nach rechts eingeschlagen sein, hier schlägt er dann nach links ein. Das heißt, der Lenker ändert seine Richtung an der Stelle. Das ist der Wendepunkt. Der Wendepunkt liegt genau an Erwartungswert plus Standardabweichung beziehungsweise minus Standardabweichung. Die Fläche, die unter dieser Kurve liegt, von hier bis hier, liegt bei 68 Prozent. Bei zweimal der Standardabweichung sind wir schon bei 95 Prozent der Fläche. Bei dreimal Standardabweichung bereits bei 99,7 Prozent. Das heißt, damit haben wir fast alle Fälle erschöpft und in der Statistik geht man davon aus, die restlichen 0,3 Prozent, die sich links und rechts verteilen, können wir vernachlässigen. Wie kommt man darauf, wie berechnet man die Fläche? Vielleicht wissen Sie das noch von der Schule, wenn man eine Kurve integriert, dann erhält man den Flächeninhalt unter dieser Kurve. Hier brauchen wir nicht integrieren, hier gibt es natürlich ein Funktion "NORMALVERTEILUNG". Ich kann ausgehend von dem Wert 120, einmal absolut, da ich etwas zeigen möchte, plus die Standardabweichung absolut, der Mittelwert oder Erwartungswert beträgt wieder diese 120, die Standardabweichung 130 und kumuliert sage ich jetzt "WAHR". Summiere alle Werte, berechne alle Werte unter der Kurve. Okay, dann erhalten wir "0,8", nicht 68 Prozent. Warum nicht? Er geht von ganz links aus, bis zu diesem Punkt. Das heißt, die Fläche der Kurve bis hier hin beträgt 84 Prozent. Wenn ich das Ganze noch einmal berechne, beim zweiten Mal allerdings ein Minus nehme, der Erwartungswert minus die Standardabweichung, dann habe ich hier "0,15". Wenn ich die beiden voneinander abziehe, die Fläche bis hier hin, minus die Fläche bis hier hin, bleibt die Restfläche, also, das minus das von 68 Prozent, von 0,68. Genauso können Sie natürlich die 55 und 99 Prozent rechnen. Das heißt also, die Wahrscheinlichkeit ist sehr hoch, dass ein Wert innerhalb dieser Kurve liegt, wenn ich von einem Erwartungswert plus minus dreimal die Standardabweichung ausgehe. Schauen wir uns das Verhalten der Kurve noch einmal an. Wenn ich hier diese Kurve betrachte, wenn ich nun die Standardabweichung ändere, angenommen wir machen weniger Standardabweichung, sehen Sie, wie sich das Verhalten der Kurve verändert. Sie geht weiter in die Mitte zusammen oder geht weiter auseinander. Wenn ich den Erwartungswert ändere, zum Beispiel auf 100, dann verschiebt sich die Kurve, weil der Erwartungswert die x-Position der Spitze der Kurve, also den Höhepunkt ausgibt. Dagegen beschreibt die Standardabweichung, wie breit die Kurve wird, von hier plus-minus eine Standardabweichung, dann lande ich genau beim Wendepunkt. Machen wir einmal 50, interessant, so. Manchmal ist es gut, nicht alle möglichen Fälle zu deklinieren, sondern sich auf eine einzige Standardabweichung zu beschränken. Die sehen Sie hier, die sogenannte "Standardnormalverteilung", die ich hier habe. Das heißt hier hat man für den Standardabweichungswert den Wert 1 angegeben, dann fällt das Sigma hier heraus. Gehen wir von einem Erwartungswert 0 aus, also positiv und negativ, heißt das, dass hier oben auch der Erwartungswert Mü herausfällt und ich die Gaußsche Normalverteilung etwas gekürzt habe als Standardnormalverteilung, die man schnell transformieren kann, in die allgemeine Verteilung. Sie sehen hier, die Mitte ist 0 und die Standardabweichung ist 1, nach links oder rechts, wäre dann etwa hier.

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Lernen Sie die wichtigsten statistischen Funktionen in Excel kennen und erfahren Sie, was diese eigentlich berechnen und wofür Sie sie verwenden können.

4 Std. 5 min (56 Videos)
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