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Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Determinanten einer Matrix bestimmen

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Die Bestimmung der Determinante einer Matrix zählt zu den mathematischen Techniken, die ein Programmierer beherrschen sollte. Das Video verdeutlicht, wie man das macht. Eine Determinante ist eine spezielle Funktion für eine quadratische Matrix. Mit Hilfe von Determinanten kann man feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.
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Transkript

Für Matrizen gibt es in der linearen Algebra eine ganze Menge an interessanten Funktionen. Sicherlich eine der wichtigsten ist die Bestimmung der sogenannten Determinanten. Eine Determinante ist eine Funktion, die auf eine quadratische Matrix angewendet werden kann, und nur auf eine quadratische Matrix. Man kann damit feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Man kann sogar die Lösung mithilfe der sogenannten Cramerschen Regel explizit angeben. Ein Gleichungssystem das über eine Matrix repräsentiert wird, das macht die sogenannte Koeffizientenmatrix. Ein solches Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante nicht null ist. Und dann ist eine Matrix auch invertierbar. Es gibt also wichtige Gründe, sich mit Determinanten von quadratischen Matrizen zu beschäftigen. Nun kann man die Determinante einer quadratischen Matrix sehr einfach berechnen, wenn man geeignete Programme einsetzt. Beispielsweise sehen Sie hier: Es gibt diese Funktion "det", Determinante. Man schreibt eine quadratische Matrix rein und der Wert wird berechnet, es kommt -2 raus. Aber wie ergibt sich dieser Wert? Nun, bei einer Zwei-Kreuz-Zwei Matrix ist das ganz einfach. Sie müssen den Wert hier oben mal den Wert hier unten nehmen und ziehen den Wert 5 mal 6, also hier das Kreuz, sozusagen wieder ab. Und was rauskommt, ist die Determinante. Es ist nicht mehr ganz so einfach, wenn Sie keine Zwei-Kreuz-Zwei Matrix vorliegen haben. Ganz und gar nicht. Wir schauen uns das mal an. Ich nehme mal eine Drei-Kreuz-Drei Matrix, auch die muss natürlich quadratisch sein und wir geben ein paar Werte ein, und berechnen die Determinante. Der Wert ist null. Das heißt, diese Determinante ist offensichtlich als Koeffizienten Matrix, von einem Gleichungssystem betrachtet. dann eben nicht eindeutig lösbar. Genauer genommen ist das Gleichungssystem, das davon repräsentiert wird, nicht eindeutig lösbar und diese Matrix ist auch nicht invertierbar. Aber wie berechnet man diese Determinante? Wir können ja nicht einfach sagen: Wir multiplizieren hier diese Diagonale und diese Diagonale und ziehen sie voneinander ab, da bleiben ja noch die 2, 4, 6 und 8 übrig, die wir so nicht erwischen. Es gibt verschiedene Techniken, wie man das machen kann. Und die in der Regel einfachste und die auch in der Schule in der Regel gelehrte Technik, ist, dass man versucht diesen Ausdruck auf Zwei-Kreuz-Zwei Matrixen zu reduzieren. Das heißt, man nimmt hier diese 1, also diese Position hier und berechnet dann die Determinante von 5, 6, 8 und 9, also die hier übrig bleibende Zwei-Kreuz-Zwei Determinante aus. Dann nimmt man die 2, dann nimmt man die 3 und rechnet jeweils gestrichen die Spalte, die hier unterhalb steht und verknüpft dann die Resultate. Dieses Verfahren nennt man den Laplaceschen Entwicklungssatz. Dabei entwickelt man eine Determinante einer n-Kreuz-n Matrix nach einer Zeile oder auch nach einer Spalte. Und Sie sehen, hier dieses Programm hat auch genau diesen Laplaceschen Lösungsansatz, den Entwicklungssatz verwendet. Ich nehme also erst die 5 mal 9 -6 mal 8, dann zieh ich davon 4 mal 9 -6 mal 7 ab, multipliziere hier oben den Wert 2 und dann addiere ich 3, also hier oben den Wert 4 mal 8 -5 mal 7. Ich entwickle die Determinante also nach der ersten Zeile. Wohl bemerkt, das ist nur eine Möglichkeit die Determinante zu berechnen, aber eine sehr effektive und einfache Methode. Sie haben also in diesem Video gesehen, was eine Determinante ist, wofür sie da ist, was Sie daraus für Aussagen schließen können, und wie man Determinanten grundsätzlich entwickelt, insbesondere nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz.

Mathematik-Grundbegriffe für Programmierer

Lernen Sie die Themenbereiche und Verfahren aus der Mathematik kennen, die bei der täglichen Programmierarbeit zum Einsatz kommen.

2 Std. 54 min (40 Videos)
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Erscheinungsdatum:04.10.2016
Aktualisiert am:19.12.2016
Laufzeit:2 Std. 54 min (40 Videos)

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